EL CONCEPTO DE DIMENSIÓN. LOS EJES XYZ.

 

Entendiendo las tres dimensiones.

Imaginemos un Universo sin dimensiones, en el que no existe la izquierda ni la derecha, ni arriba ni abajo, ni delante ni detrás, donde no existe el tamaño ni la distancia. En este lugar no podrían existir las cosas tal y como las conocemos; no podría existir el tiempo ni la anchura, altura, la profundidad, etc.

El único ente que podría existir sería el punto. El punto no tiene ninguna dimensión ni tiene profundidad, ni altura, ni anchura, únicamente posee una posición. Este punto sería el centro del Universo y a la vez los límites del mismo. Como el punto no tiene dimensiones ocuparía todo el Universo , ya que tampoco tiene dimensiones.

Supongamos que dotamos al Universo de una dimensión, la profundidad. Nuestro punto tendrá ahora la posibilidad de estar situado más adelante o más atrás, tendrá una cierta libertad. A su vez dejará de estar solo en el Universo, ya que podrán existir más puntos en distintas posiciones. Aparecen así los conceptos de posición, distancia y longitud. Incluso aparecerá un nuevo tipo de ente geométrico posible en este Universo unidimensional: la línea, considerándola como una sucesión de puntos ( en este caso en una única dirección). Así nuestro Universo ahora será una línea ya que estará formada por puntos, que siempre estarán alineados sea cual sea su posición. Podremos dividir la línea en distintos segmentos con distintas longitudes y posiciones, pero no podrá existir líneas que se crucen o más gruesas unas que otras.

Si dotamos al Universo de una segunda dimensión, la anchura, tendremos ahora un plano infinito. En él las líneas se podrán situar con total libertad y no tendrán por qué ser rectas ni tener el mismo grosor. Podrán formar , además, figuras planas y contornos. Aparecerá así el concepto de área, que será una parte del Universo delimitada por líneas. Así las figuras podrán estar solapadas o incluidas en otras.

Dotando de un a tercera dimensión a nuestro Universo: la altura, nace el concepto de volumen y aparecen los cuerpos como los conocemos en nuestro mundo. Un objeto nos sólo puede ser más alto ancho que otro, sino que también puede ser más profundo. Aparece en este universo la materia, las propiedades físicas,...

Aún así este Universo está falto de una cuarta dimensión: el tiempo. Dimensión que permite el cambio: los cuerpos podrán variar su forma, su posición, su tamaño, etc. Dejarán de ser objetos de un a fotografía estática. Aparecerá así la Historia, el movimiento, la evolución, etc...

 

El Universo Real

Volviendo al universo en el cual vivimos, que posee como poco las cuatro dimensiones antes citadas, el hombre es capaz de desplazarse, cambiar de posición a su antojo, pero no puede controlar el tiempo, ni lo que éste trae consigo. El tiempo siempre discurre en el mismo sentido (de atrás hacia adelante) y a un ritmo constante. El hombre no puede moverse a lo largo de él a su antojo, tan solo puede actuar en el presente (ni en el pasado, ni directamente en el futuro).

Pese a todo el hombre tiende a controlar y a entender su universo, para lo cual crea la Ciencia. El hombre es la medida de todas las cosas y es el que las interpreta. Esta interpretación del Universo tiende a ser lo más fidedigna posible, para lo cual el hombre se vale de ciertas herramientas y unidades de medida.

Un arquitecto necesita definir la posición y forma exacta de los objetos en su construcción. Y para ello utiliza herramientas geométricas que le permiten representar todos los elementos en el espacio. La más importante de estas herramientas son los sistemas de ejes de coordenadas, y dentro de estos sistemas el más importante es el de los ejes XYZ.

El sistema de ejes XYZ es un conjunto de tres líneas que se juntan en un único punto de forma perpendicular, cada una de ellas dispuestas según cada una de las dimensiones del espacio. Este sistema es imaginario y su ubicación y orientación son totalmente arbitrarias, la define cada cual según sus necesidades. Nosotros, dentro del universo 3D, querremos definir una escena tridimensional de forma exacta. Para ello utilizaremos coordenadas, que nos indicarán la posición de los objetos respecto de un sistema de coordenadas XYZ.

A la hora de modelar y construir una escena 3D utilizamos herramientas que nos permiten hacerlo sin necesidad de conocimientos de geometría. El ordenador irá guardando la información referente a las coordenadas de posición de los distintos elementos de nuestra escena respecto de un sistema de ejes XYZ normal en geometría. La coordenada X será la distancia que separa al objeto del origen de coordenadas teniendo en cuenta solamente la dimensión correspondiente al eje X. La coordenada Y será la altura que separa al objeto del punto de origen, teniendo en cuenta la dimensión correspondiente al eje Y. De igual forma sucede con la coordenada Z.

Al definir un objeto o escena lo haremos normalmente en un sistema de tres proyecciones planas. Esto es debido a que el sentido más desarrollado del hombre es la vista, que es bidimensional. Por ello las pantallas planas de nuestros ordenadores o las láminas de dibujo para los ingenieros, son suficiente para que nuestro cerebro pueda abstraer la información tridimensional de representaciones planas. Como un ordenador no es una máquina tan sofisticada como el cerebro humano necesita de tres proyecciones planas de un objeto para saber cómo es y la posición que ocupa en el espacio. Estas proyecciones planas serán perpendiculares a la dirección de los ejes del sistema de coordenadas XYZ. La proyección del objeto en el plano definido por los ejes X e Y se denominaría Alzado de la figura. La proyección perpendicular al eje Y, es decir, la proyección sobre el plano XZ es la Planta de la figura. Y la proyección perpendicular al eje X la denominamos Perfil de la figura. El proceso a realizar para introducir una ESCENA en un programa 3D es construir el Alzado, la Planta y el Perfil y así el ordenador entendería dicha escena. La computadora toma la posición del objeto en cuestión y la expresa según coordenadas, con respecto al origen de un sistema de ejes XYZ imaginario que ella misma ha colocado en algún lugar de la escena. En algunos programas es posible la introducción de las coordenadas de forma numérica, para lo cual hemos de entender el funcionamiento de los tres ejes. Si un objeto se encuentra más a la derecha del origen de coordenadas, diremos que su coordenada X es positiva. Si, en cambio, se encuentra a la izquierda del centro de coordenadas, su coordenada X será negativa. Si se encuentra por encima del punto de origen, diremos que su coordenada Y es positiva, y si se encuentra por debajo, es negativa. Si el objeto en cuestión se encuentra por delante del punto de origen, diremos que su coordenada Z es positiva, y si es por detrás negativa. El valor en sí de la coordenada dependerá de la distancia a la que se encuentre el objeto de nuestro origen arbitrario.

 

Los tres Ejes.

Al llegar a este punto nos damos cuenta de la existencia de las cuatro dimensiones y de la voluntad del hombre por catalogar, medir y dominar las fuerzas del universo a su voluntad. También somos conscientes de que el hombre, al pertenecer a un colectivo, tiende a buscar estándares para la representación de los conocimientos adquiridos de forma que puedan ser aprovechados por el resto del colectivo. Con ese afán surge el concepto de los tres ejes.

Los tres ejes: X, Y, Z, no son elementos reales del mundo, sino que son una creación y un convenio humano para poder trabajar en tres dimensiones. Dicho de otro modo, es la herramienta que utiliza todo el mundo para representar las posiciones y dimensiones de los cuerpos en el espacio en un determinado momento. Así, mediante las unidades métricas y los ejes, podemos representar exactamente el lugar del espacio en el que se encuentra un determinado objeto. Los tres ejes son tres líneas imaginarias que se cortan perpendicularmente en un punto denominado origen. Podemos imaginar los tres ejes como las aristas de un cubo, que se unen para formar uno de los ocho vértices de la caja. Las posiciones se calculan midiendo la posición lateral, la altura y la profundidad. Estas líneas son en realidad vectores, es decir, tienen un sentido. Así el eje X va de izquierda a derecha, el eje Y de abajo arriba y el eje Z de atrás a delante.

Cuando queramos hacer uso del sistema de ejes XYZ tenemos que tener en cuenta que es arbitrario, y que debemos situarlo en la posición y orientación que más nos convenga. Debemos de trazar mentalmente los ejes y decidir en qué punto se van a cortar. O sea, cuál va a ser el origen de coordenadas. Por poner un ejemplo, si quisiéramos expresar los elementos de una habitación en coordenadas XYZ podríamos hacer coincidir el origen de coordenadas con la esquina inferior más a la izquierda y hacia atrás.

Las coordenadas vendrán expresadas en la medida que más nos convenga, según el tamaño de la escena que queramos definir. Así, cuando trabajemos en una habitación utilizaremos metros, cuando trabajamos con regiones, kilómetros, o cuando trabajemos con miniaturas, milímetros.

En el caso de un avión que se encuentre 1000 metros al Norte, 500 metros al Este y a 200 metros de altura, diríamos que sus coordenadas (situando el sistema de ejes como X de Oeste a Este, Z de Sur a Norte e Y de abajo arriba), son (500 x, 200 y, 1000 z). Si estuviera a 500 metros al Oeste, a 1000 metros al Sur y a la misma altura estaría a (-500 x, 20 y, -1000 z). Hemos de prestar atención en que, antes de medir, hay que situar el origen de coordenadas en el lugar adecuado para tener una buena referencia.

 

 

David Garrosa Sastre. Octubre 1998.